Arg max

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In matematica, arg max sta per argomento del massimo, che significa l'insieme dei punti di un dato argomento per i quali una data funzione raggiunge il suo massimo:[1]

In altre parole,

è l'insieme dei valori di per i quali raggiunge il suo più alto valore . Per esempio, se è , raggiungerà il suo valore massimo per e solo in quel punto, quindi .

Equivalentemente, se è il massimo di , allora l'arg max è l'insieme di livello del suo massimo:

Se il massimo è raggiunto per un singolo valore, allora ci si riferisce a tale punto come il massimo argomento, cioè si definisce l'arg max come un punto, non un insieme di punti. Così, per esempio,

(piuttosto che il singoletto ), poiché il valore massimo di è , il quale si ottiene per .[2]

Tuttavia, nel caso in cui il massimo fosse raggiunto in molti valori, arg max è un insieme di punti.

Quindi, si ha per esempio

poiché il valore massimo di è , il quale si ottiene per o . Sull'intera retta reale, l'arg max è

Si noti inoltre che le funzioni, in generale, non raggiungono un valore massimo, e quindi in generale non hanno un massimo argomento: non è definito, così è illimitato sulla retta reale. Tuttavia, per il teorema di Weierstrass (o per le proprietà degli spazi compatti), una funzione continua su un compatto ammette massimo, e quindi un arg max.

Arg minmodifica | modifica wikitesto

Similmente arg min sta per argomento del minimo, ed è definito in modo del tutto analogo. Per esempio,

sono i valori di per i quali raggiunge il suo valore minimo

Proprietàmodifica | modifica wikitesto

  • .
  • Invarianza rispetto alle costanti additive: per ogni .
  • Invarianza rispetto alle costanti moltiplicative positive: per ogni .
  • Più in generale, se è una funzione continua strettamente monotona[3] e è ben definita, allora

Notemodifica | modifica wikitesto

  1. ^ Per maggior chiarezza, ci riferiamo all'input () come punti e all'output () come valori; confronta con Punto critico.
  2. ^ Differenziando, otteniamo .
  3. ^ Con la dicitura strettamente monotona si intende una funzione strettamente crescente oppure strettamente decrescente.

Voci correlatemodifica | modifica wikitesto

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