Punto singolare di una curva

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Una cuspide nell'origine del grafico della curva y2 = x3

In geometria, un punto singolare di una curva è un punto per il quale la curva non è rappresentata da una funzione liscia. La definizione precisa dipende dal tipo di curva che si considera.

Curve algebriche nel pianomodifica | modifica wikitesto

Una curva algebrica nel piano è definita come il luogo geometrico dei punti del piano che soddisfano una equazione nella forma dove è una funzione polinomiale

Se l'origine appartiene alla curva allora . Se allora il teorema delle funzioni implicite assicura che esiste una funzione liscia tale che la curva ha la forma in un intorno dell'origine. Analogamente, se allora esiste una funzione liscia tale che la curva ha la forma in un intorno dell'origine. In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell'origine. Nell'origine si ha che

per cui la curva è non singolare, o regolare, nell'origine se almeno una delle derivate parziali di è non nulla. I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il gradiente di :

.

Punti di regolaritàmodifica | modifica wikitesto

Assumendo che la curva passi per l'origine e ponendo y=mx, f può essere scritta come

Se b0+mb1 è non nullo allora f=0 ha una soluzione di molteplicità 1 per x=0 e l'origine è un punto di contatto di ordine 1 con la retta y=mx. Se b0+mb1=0 allora f=0 ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a 2 e la retta y=mx, or b0x+b1y=0 è tangente alla curva. In tale caso, se c0+2mc1+c2m2 è non nullo allora la curva ha un punto di contatto di ordine 2 con y=mx. Se il coefficiente di x2, c0+2mc1+c2m2, è nullo ma non il coefficiente di x3 allora l'origine è un punto di flesso della curva. Se entrambi i coefficienti di x2 e x3 sono nulli allora l'origine è un punto di ondulazione.[1] Tale analisi si generalizza ad ogni punto della curva, traslandola in modo che il punto di interesse vada a cadere nell'origine.[2]

Punti doppimodifica | modifica wikitesto

Tre limaçon: la curva a sinistra ha un punto doppio isolato nell'origine, quella al centro (cardioide) ha una cuspide nell'origine, quella a destra ha un nodo (autointersezione) nell'origine.

Se b0 e b1 sono entrambi nulli ma almeno uno tra c0, c1 e c2 è non nullo allora l'origine è un punto doppio per la curva. Ponendo y=mx, f può essere scritta come

I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di c0+2mc1+m2c2=0.

Nodimodifica | modifica wikitesto

Se c0+2mc1+m2c2=0 ha due soluzioni reali rispetto a m, ovvero se c0c2c12<0, allora l'origine è un nodo per la curva. In tale caso la curva ha un'autointersezione nell'origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di c0+2mc1+m2c2=0. La funzione f ha un punto di sella in corrispondenza.

Punti doppi isolatimodifica | modifica wikitesto

Se c0+2mc1+m2c2=0 non ha soluzioni reali rispetto a m, ovvero se c0c2c12>0, allora l'origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato). Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva complessa l'origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di c0+2mc1+m2c2=0. La funzione f ha un estremo locale in corrispondenza.

Cuspidimodifica | modifica wikitesto

Se c0+2mc1+m2c2=0 ha una soluzione di molteplicità 2 rispetto a m, ovvero c0c2c12=0, allora l'origine è un punto di cuspide. La curva cambia direzione con un angolo netto nell'origine e ha una sola tangente, che può essere considerata come due tangenti coincidenti.

Ulteriori classificazionimodifica | modifica wikitesto

Il numero di nodi o cuspidi di una curva è uno dei due invarianti della formula di Plücker.

Se una delle soluzioni di c0+2mc1+m2c2=0 è anche soluzione di d0+3md1+3m2d2+m3d3=0 allora il ramo corrispondente della curva ha un punto di flesso nell'origine, che in questo caso è un punto di flencnodo.[3] Se entrambe le tangenti hanno questa proprietà, ovvero c0+2mc1+m2c2 è un fattore di d0+3md1+3m2d2+m3d3, allora l'origine è un biflecnodo.[4]

Punti multiplimodifica | modifica wikitesto

La curva f(t) = (sin(2t) + cos(t), sin(t) + cos(2t)) ha un punto triplo nell'origine

In generale, se tutti i termini di grado inferiore a k sono nulli, almeno un termine di grado k è non nullo in f, e la curva ha un punto multiplo di ordine k. La curva avrà, in generale, k tangenti nell'origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.[5]

Curve parametrichemodifica | modifica wikitesto

Una curva parametrica in è definita come l'immagine di una funzione . I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di , ovvero

Molte curve possono essere definite in questa maniera, ma le definizioni di singolarità possono non essere sempre concordi. La cuspide è singolare in entrambe le definizioni, un esempio è la curva seguente che ha una cuspide nell'origine, e può essere definita implicitamente come o in forma parametrica come . Nel caso dei nodi non è sempre questo il caso, ad esempio nella curva , l'origine è un punto singolare se si considera la curva definita implicitamente in forma algebrica, ma considerando la parametrizzazione , si ha che non si annulla mai, e il nodo non è un punto singolare per la parametrizzazione.

È necessario prestare attenzione nella scelta della parametrizzazione: ad esempio la retta parametrizzata da ha una singolarità nell'origine, mentre quando è parametrizzata da non ha singolarità. Per questo motivo, è più opportuno parlare di punto singolare di una parametrizzazione regolare piuttosto che di punto singolare della curva in sé.

La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve implicite, che sono definiti come insieme degli zeri di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.

Un teorema di Hassler Whitney afferma che ogni insieme chiuso in è l'insieme degli zeri di una opportuna funzione liscia .[6][7]

Notemodifica | modifica wikitesto

  1. ^ ondulazione in “Dizionario delle Scienze Fisiche” – Treccani
  2. ^ Hilton, chap. II §1.
  3. ^ flecnodo in “Dizionario delle Scienze Fisiche” – Treccani
  4. ^ Hilton, chap. II §2.
  5. ^ Hilton, chap. II §3.
  6. ^ (EN) Brooker and Larden, Differential Germs and Catastrophes, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
  7. ^ (EN) Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)

Bibliografiamodifica | modifica wikitesto

Voci correlatemodifica | modifica wikitesto

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica